par marcenciel » Dim Nov 8, 2009 15:19
C'est quoi un système réduit en N-1 ? C'est une question qui revient très souvent alors, même si je sais d'expérience qu'il sera nécessaire de renouveler l'explication fréquemment, voici quelques éléments.
Un tel système de réduction des combinaisons (et donc du cout du jeu) repose sur l'idée qu'une combinaison quelconque (une grille) donne un certain nombre d'autres grilles à 1 erreur près. Pour illustrer cette idée, on peut prendre un exemple sur 4 matchs (pour simplifier). Si on considère une grille de résultats possibles sur ces 4 matchs, disons la grille 11N2, il est possible de voir que les 8 résultats suivants (11N1, 11NN, 1112, 1122, 1NN2, 12N2, N1N2 et 21N2) sont approchés à exactement une erreur près, par la grille d'origine (11N2). De plus, le résultat 11N2 est quant à lui "approché" à 0 erreur près. On voit donc qu'une grille donnée approche dans ce cas 9 combinaisons (8+1) qui ont au plus une erreur par rapport à cette grille.
A partir de l'ensemble des combinaisons possibles sur 4 matchs, soit 81 combinaisons, il est alors possible d'isoler un ensemble de combinaisons, tel qu'a partir de cet ensemble on puisse avoir toute la population des résultats à une erreur au plus. Il est facile de comprendre qu'il est intéressant d'avoir dans ce système des combinaisons les plus "différentes" possibles de manière à ce que les combinaisons approchantes ne se recoupent pas.
Si ma première combinaison est 11N2, je peux prendre en deuxième (par exemple) la combinaison 1N21 car elle ne donne, à 1 erreur au plus près, aucune combinaison commune avec celles données par la première. Et ainsi, avec 2 grilles seulement, j'aurais alors approché (= joué en N-1), 18 combinaisons.
Comme dit plus haut, une combinaison en donnant 9 (elle même et 8 à une erreur près) avec un système parfait il me suffit d'en avoir 9 (car 81/9=9)
Or, il se trouve que justement le système de 4 triples est "parfait", c'est à dire qu'on peut trouver un ensemble de combinaisons, toutes très différentes, et qui donne l'ensemble des 81 possibilités à au plus une erreur près.
Par exemple (car il en existe beaucoup d'autres), le système de 9 combinaisons suivant est parfait en N-1 pour 4 triples :
123456789
111NNN222
1N21N21N2
N2121N1N2
21NN211N2
Avec un tel système, je joue 9 grilles pour 4 matchs et je suis certain à 100% de faire au plus une faute. Si j'avais voulu jouer un système équivalent mais sans utiliser ce type de réduction N-1, j'aurais été obligé de jouer 3 triples et 1 simple soit 27 grilles.
Même si je me répète, il est important de comprendre que les combinaisons ne sont pas choisies au hasard (mais bien pour être les plus différentes possibles) car, si je retiens la combinaison 11N2 dans le système, et si je veux qu'une autre des combinaison soit 11NN, il se trouve que ces combinaisons ont 3 combinaison communes (11N1,11NN et 11N2) à 1 erreur au plus. Ainsi avec 2 combinaisons, je n'approche (= je ne joue en N-1) que 9+6=15 combinaisons sur 81 résultats possibles. Il en restera donc 65 à approcher (81-15) et il en faudra alors encore plus de 7 pour réduire ces 65 grilles restantes (car 7*9=63).
D'une manière plus générale, on montre que le système parfait en N-1 pour un nombre N de triples devrait comporter 2N+1 combinaisons. Et avec des doubles uniquement, le nombre de combinaisons approchantes (à 1 erreur au plus) données par une combinaison est égal à N+1 (on en déduit que, pour 3 doubles, le nombre de combinaisons idéal du système est de Nombre total de combinaisons/Nombre de combinaison approchantes = 8/4=2). Et il se trouve que ce système est lui aussi "parfait", c'est à dire qu'on est capable de trouver effectivement 2 combinaisons qui répondent parfaitement.
Malheureusement, les système parfaits sont très rares et, le plus souvent, il est impossible de trouver le nombre exact de combinaisons attendu car certaines de ces combinaisons finissent par se recouper partiellement (= donner des combinaisons communes à une erreur au plus). Si l'on prend 5 triples par exemple, on devrait pouvoir trouver un système N-1 en 243/ (2*5+1) = 22,09 grilles, soit 23 grilles (car 0,9 grille je ne sais pas ce que c'est). Or, c'est impossible (pour des raisons mathématiques que je ne vais pas aborder ici) et le meilleur système "réduit" en N-1 est de 27 grilles pour les 5 triples.
De même pour 7 triples, on devrait pouvoir trouver 145,8 combinaisons (2187/(2*7+1)) mais il se trouve qu'actuellement le record de réduction est de 186 grilles.
Ainsi de suite...
Pour se consoler de ne pas avoir toujours le système parfait, il faut se dire que plus le nombre de grilles à jouer est important plus la probabilité de ne pas avoir de perte de rang est grand. Si je reprend l'exemple du 5 triples joué en N-1 en 27 grilles, la probabilité de ne pas faire de faute est de 27/243, soit 1 chance sur 9 alors qu'avec un système parfait (23 grilles) elle serait de 1 sur 10,56. De plus, comme certaines combinaisons se recoupent partiellement, il est parfois possible d'avoir plusieurs fois 1 seule erreur (ce qui sur un LF7 peut donner plusieurs 6/7 possibles quand on utilise un tel système).
En résumé, plus le système tend vers le système parfait plus il est efficace pour répondre à son objectif : miser le moins possibles pour avoir au plus une erreur mais avec une minimisation des chances d'avoir 0 erreur. A l'inverse, plus le système est "imparfait" plus il coute cher mais augmente les chances d'avoir 0 erreur ou plusieurs fois une seule erreur.
Dernière édition par marcenciel le Sam Nov 14, 2009 8:41, édité 1 fois.
